勾股树：一棵长在直角上的树

想象一棵树：一根树干竖直向上，从它的顶端长出两根枝；每根枝的顶端又各长出两根更小的枝……如此反复，永不停止。把每个"分叉点"都看作上一个规则的忠实重演，你便得到了一种分形——它被叫做"勾股树"（Pythagoras Tree），因为它的骨架里，住着毕达哥拉斯定理。

这棵树的分叉规则极简：每一段枝的顶端，向左右各偏一个固定的角度 θ，分出两枝；而新枝的长度，是旧枝长度乘以 cos θ。注意 cos θ 永远小于 1（除非 θ=0°），所以越往上，枝越短，树终能收在一小片区域里。

当 θ=45° 时，魔法发生了。两枝相对竖直方向各偏 45°，于是它们彼此恰好成 90° 的直角；又因为长度都等于旧枝的 cos45°=1/√2，两条直角边等长——这正是"等腰直角三角形"。想象在每一段旧枝上，以它自己为斜边立一个正方形；那个正方形两条直角边的方向，正是它顶端分出的两枝。于是正方形的面积 c²，恰好等于两枝各自长度平方之和 a²+b²——勾股定理在此被一棵树反复言说。铺满正方形后，它长成经典的"毕达哥拉斯树"；而你在这篇文章顶部看到的青色线条，正是这棵树的"骨架"。

勾股树是自相似的：任意一小段枝，连同从它长出的整片子树，放大之后都和整棵树一模一样。分形几何正是靠这种"局部是整体的缩小版"来认识世界的。

树的规模增长得很快：第 1 层只有 1 段树干；每加深一层，段数翻倍。到第 8 层已有 2⁸−1=255 段，到第 12 层则有 2¹²−1=4095 段，密密麻麻，却依然规整——只因为每一次分叉都精确地重复同一条规则。

角度 θ 掌管着树的"性格"：θ 越小，cos θ 越接近 1，枝长得越慢、树越窄越高，θ 接近 0° 时几乎退化成一条竖线；θ 越大，分叉越开、树越矮越宽，θ 接近 90° 时 cos θ 趋近 0，新枝几乎不再生长。45° 是那个最优雅的平衡点——两枝恰好成直角，毕氏定理在每一处分叉安静地成立。

在本应用中，青色线条画出勾股树的骨架。拖动文章顶部的"生长深度"滑杆（从 1 到 12），看树如何逐层长出更多细枝；拖动"分叉角度"滑杆（从 0° 到 90°），看同样的规则如何长出瘦高、舒展或矮宽的树冠。

现在，把角度拨到 45°、深度慢慢拉大，看青色细枝如何一分为二、再一分为二，把整个画布织成一棵对称的树——递归不过寥寥几行，却能在一处直角上，长出一整片森林。